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國內已在去年推出第一個股指期權產品上證50ETF期權,目前個股期權也在醞釀計劃推出之中。在目前市場大環境下，本文通過一些實例和大家分享一下如何利用期權和股票優雅地進行delta對沖。

什么是delta

在期權定價中，通過Black Scholes對歐式期權的定價模型為例，對漲期權價格的定價需要6個參數，分別是無風險利率，股票現價，分紅率，行權價格，時間長度，波動率。由于參數變化會造成期權價格的變化，我們想了解每一個參數變化1單位后期權價格變化的幅度，如無風險利率變化1%，期權價格的變化會是多少。在金融行業中，一般用希臘字母表示每個參數的敏感性，即參數變化1單位，期權價格變化的數量。在數學中，變化率可以由偏導來表示，Option對相應參數求偏導就是希臘字母。

對無風險利率求偏導可以得到rho
對股票價格求一階導數可以得到delta()
對股票價格求二階倒數可以得到gamma
對波動率求偏導可以得到vega
對時間求偏導可以得到theta
對分紅率求偏導可以得到psi

這里簡單介紹一下delta對沖的原理和思路，從上文中，我們已經了解到，期權的delta定義是期權價格與標的資產價格變化的比率，它是期權價格與標的資產價格的切線斜率。如圖1，假設某看漲期權的是0.6，則在當前價格下，股價變動1單位，相應的看漲期權的價格變化為0.6單位。

圖1：的說明

數學定義則是。可以證明(參考John Hull的Options, Futures and Other Derivatives等教材)，對于看漲期權,，對于看跌期權,。也就是說當股價變化為1時，期權價格的變動的范圍在-1和1之間。

Delta對沖策略分為以下四種：

(1) 看漲期權短頭寸+股票長頭寸

(2) 看漲期權長頭寸+股票短頭寸

(3) 看跌期權長頭寸+股票長頭寸

(4) 看跌期權短頭寸+股票短頭寸

其中股票頭寸數除以期權頭寸數均為，在本文中，著重介紹第一種情形，即漲期權短頭寸+股票多頭寸的情形。舉例來說，股票上漲一個很小的數目，則看漲期權短頭寸的一方將損失，但由于他持有份股票，份股票可以獲得的收益，彌補了相應的損失。這對交易員十分重要，因為交易方通常會有一定數量的期權，所以可以通過delta對沖等方法來降低風險，使投資組合在某一定范圍內不受到股票價格變動的影響。

對于一個股票和期權投資組合策略，如果股票數量除以期權數量等于，且對于看漲期權頭寸相反(對于看跌期權則是頭寸相同)，則當前這樣投資組合策略便是delta中性的。但是，每經過一段時間，股價會有所變動，所以期權的價格也發生非線性的變化，這將導致期權的delta也會變，所以交易員應持有的股票數量也應該有所改變，應買入或賣出一定數量的股票，再次達到delta中性。我們把這種不斷調整股票持倉數量的對沖方法稱為“動態對沖”。如果一個交易員在進行delta對沖時不及時調整倉位，那股票+期權的資產組合就不再是delta中性的了，相應的風險也會增大不少。

實例演示

這里，我們以IBM的股票期權為例進行說明，因為IBM是藍籌股，且交易量較大，合約標準化，流動性好，容易找到相關工具，所以我們選取IBM在納斯達克交易所進行交易的期權。

首先來看看數據的準備工作是如何完成的。參考

http://www.nasdaq.com/symbol/ibm/option-chain/160415C00120000-ibm-call和

http://www.dividend.com/dividend-stocks/technology/diversified-computer-systems/ibm-ibm-corp

可以獲得IBM的2016/4/15到期的權益期權的相關信息，該期權的行權價格是120美元，是一個歐式看漲期權，隱含波動率為0.27572。在2016/1/14時，IBM的股價為132.91美元，無風險利率我們選擇3個月的LIBOR，為0.62%，連續紅率為3.91%。

我們將演示如何通過Excel進行對沖。在示例文件中，我們假設估值日為2016/1/4，并將模擬十周中每周的股價，以及相應的損益。打開示例文件中的“利潤”表，可以看到：

圖2：“利潤”表

該表可以模擬在進行delta對沖時，期權+股票組合的利潤情況。在圖2中，有如下的信息：

圖3：輸入、輸出

圖3 的說明如下：

橫縱坐標說明了下面的利潤圖的相關信息，橫軸表示距離估值日的周數，縱軸表示整個投資組合策略的累計利潤。

Strike就是用戶希望進行delta對沖的看漲期權的行權價格，可以根據市場上所有的期權輸入相應的行權價格。

初始投資是經計算得出的結果。

當前股價是股票的價格，可以從相關網站上獲得相關數據，也可以用wind的函數直接獲得。

初始期權數量和初始股票數量是用戶所持有的看漲期權和股票數量。

初始應買入股票數量是使得投資組合策略delta中性所應該買入的股票數量。

在這個例子中，經計算得出初始delta值為0.51836，初始期權數量為10000，則初始的股票數量應為5184，但此時股票量只有1234，所以應買入3950數量的股票，達到delta中性。接著我們回到左邊的表格，注意到有3個按鈕：

圖4：3個按鈕

點擊按鈕“生成隨機的股價”可以生成一系列隨機的股價，如下圖：

圖5：隨機生成每周的股價

從圖5中，我們能看到133.0898是模擬出的一周后的股價，146.7945是過了10周后的股價按下“模擬delta對沖”可以用剛才隨機生成的股價進行Delta對沖的模擬。

圖6：利潤表

從圖6中可以看出，在這次模擬中，過了一周后，股價為133.0898，此時根據相應的定價引擎計算出期權價格為6.5672，由于我們進行了delta對沖，當期的利潤為2356.9786，在此時，delta改變為0.5010，所以delta的變化為－0.0173，表明應賣出173.5542數量的股票。如此類推，同理，過了兩周后，delta也會有相應的變化。第一期(加上利息)的利潤和第二期的當期利潤構成了第二期累計利潤。第期的累計利潤(加上利息)和第期的當期利潤構成了第期的累計利潤?？梢钥吹剑谶@次模擬中，股價總體呈上升趨勢，如果不進行delta對沖，則會有一定數量的虧損。

按下“生成股價并對沖”按鈕，相當于先按“生成隨機的股價”，再按“模擬delta對沖”。

動態對沖對交易員要求高，需要經常調整頭寸的數量。而靜態對沖即Gamma對沖則更方便一些，這將是我們下一次討論的問題。

圖7：對比delta和delta hedging的效果

從圖7中，我們可以看到delta-gamma對沖的效果比delta對沖效果好得多。

結論及未來展望

總得來說，delta對沖還有不足的地方，我們將在以后和大家討論其他希臘字母(如gamma)的對沖方案。

本文計算期權價值所用的軟件是VBA和基于Excel的金融估值神器QuantPlus Analytics。除了常用的Black-Scholes定價模型，QuantPlus Analytics還提供各種定價引擎可以對各種金融工具進行定價。在該定價過程中，我們使用的是歷史波動率或者隱含波動率，在實踐中，隱含波動率與strike和期限是相關的，即波動率不是常數，不同的strike和不同期限的期權的隱含波動率不同，這就是所謂的波動率曲面，QuantPlus Analytics也可以引用波動率曲面數據，來實現對各種期限和不同strike的期權的定價。

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