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上個世紀80年代，歐美的銀行業處于變革時期，1984年英格蘭銀行通過了英國銀行業從事外匯期權交易的法案。倫敦信孚銀行（Bankers Trust）的交易員Mark Standish一直從事固定收益衍生品和相關的套利交易工作。David Spaughton 從1984起年就一直在信孚銀行（Bankers Trust），從事系統分析相關的工作。1987年Standish和Spaughton一起在日本東京成功合作開發了“可以在金融行業廣泛應用的針對原油平均價格期權進行定價的期權公式”。他們稱該類奇異期權，為亞式期權。

Mark Standish Photo from Linedin

亞式期權有著很廣泛的應用空間。作為場外期權的一種，亞式期權給予持有人的回報取決于標的資產價格在某預定時段中的平均值。與類似的普通合約相比，對標的資產價格取平均顯著降低了亞式期權的價格。具有可以降低事先支付期權費的條款往往都會使期權的交易更加活躍。

• l 一段時間股價的平均值波動率低于股價的波動率。這通常會導致亞式期權的價格低于同等的普通期權；
• l 平均值較少受股價突然暴漲暴跌的影響。如果擁有的是一個亞式看漲期權，那么恰好在到期日錢的股價暴跌不會造成任何損失；
• l 同單一股價相比，一段時間內的平均數更難操縱。亞式期權顯然可以用在易于操縱、交易量小的標的資產上；
• l 如果在長時間內具有連續且高度可預測的風險暴露，那么可以用平均標的價格期權來鎖定商品價格或者匯率；
• l 商品或者能源的終端用戶常常會面臨一段較長時間中平均價格的風險暴露，因此亞式期權更具有明顯的吸引力（亞式期權常常被認為是原油市場中的普通期權）；

具有一系列外幣現金流的人（比如出口商）可能會購買亞式期權，他們希望對沖掉匯率的波動。也有亞式尾部期權被設計用來減小到期日前標的資產價格突然變動的風險暴露；一些養老金計劃具有這樣的特征。

簡單來說，亞式期權是一類回報類型由某一段時間內的平均值決定的期權合約。P. Wilmott和E.G. Huang指出，亞式期權在OTC的能源市場或者其他流動性較差的商品期貨市場較為普遍。事實上，平均值會減少價格的波動，和障礙期權類似，比常規的歐式期權要便宜。

亞式期權可以分為這樣幾類，平均價格或者平均敲定價格。

1. 回報類型

假定現在已經定義了平均值A，哪些回報形式是最常見的？除了看漲、看跌等分類外，也有平均對象是執行價（strike）還是標的價格（rate）的分類。這些分類如下所示，比如普通看漲期權的回報為：

將執行價E替換為平均值就成為了平均執行價看漲期權（average strike call），回報為：

而平均執行價看漲期權（average strike put）的回報為：

將普通期權回報中的標的資產價格替換為其平均值，就得到了標的價格期權。比如，平均標的的價格看漲期權（average rate call）的回報為：

平均標的的價格看漲期權（average rate put）的回報為

如果面臨一段較長時間中連續且高度可預測的商品價格或匯率的風險暴露，可以使用平均標的的價格期權來鎖定價格。

從定價角度來說看漲期權與看跌期權的區別是簡單的，但執行價/標的價格是一個較大的區別。執行價期權更容易用數值方法求解。

2. 平均值的類型

要準確定義亞式期權合約中使用的平均值依賴于兩個因素：數據點是如何組合為平均值和使用哪些數據點。前者指的是要使用算術平均、幾何平均還是其他更復雜的平均，后者指的是在計算平均值時要使用多少個數據點，是使用全部報價還是只是使用一個子集，以及針對哪個時段。

2.1 算術還是幾何

兩種最簡單常見的平均值類型是算術平均（arithmetic average）和幾何平均(geometric average)。價格的算術平均是將所有價格等權重加和，除以所使用的價格總數目，再去指數。另一種常見算則是指數加權平均，意思是在計算平均時價格之前不是等權重，而是以指數遞減的方式對新的價格賦予比舊的價格更高的權重。

2.2 離散還是連續

計算平均值時要使用多少數據？是使用全部的成交價還是只使用一個子集？如果使用的是一段有限時間內緊密排列的價格，那么在計算平均值的過程中使用的和式就是資產價格（或者函數）在該時間段的積分。這樣得到的是連續抽樣平均（ continuously sampled average）。 更常見的情況是我們只使用了一些可靠的數據點，比如收盤價這種更小的數據集合。這稱為離散抽樣（discrete sampling）。

支付類型	看漲	看跌
平均敲定價格期權	max (S-A, 0)	max (A-S, 0)
平均標的價格期權	max (S-E, 0)	max (E-S, 0)

3. 求解方法

同以前一樣，在實際定價時我們希望在蒙特卡羅模擬和偏微分方程方法當中進行選擇。二者各有優點和缺點。先介紹蒙特卡羅模擬計算平均價格亞式期權，再通過偏微分方程對連續型幾何平均價格的歐式期權進行定價這一種形態，未來我們會介紹離散類型的形態。

蒙特卡羅模擬

期權價值是在風險中性隨機過程下回報期望值的現值。

定價算法具體如下。

（1） 以今天的價格水平為起點，模擬資產價格在要求的時間范圍內的風險中性隨機過程。這樣可以得到標的資產價格的一條實現途路徑。

（2） 基于這條實現路徑計算期權的回報。

（3） 在要求的時間范圍內模擬更多的實現路徑。

（4） 計算全部實現路徑的平均回報。

（5） 計算該平均回報的現值，即為期權價值。

1， 蒙特卡羅模擬的優點

編程很簡單。

編程中不易犯錯。

2， 蒙特卡羅模擬的缺點

要得到希臘字母需要更多的計算量。

計算過程可能會很慢，因為要得到精確解需要進行上萬次模擬。

后面幾節我們將討論偏微分方程方法。但是在此之前，先來看看它優點。

3， 偏微分方程方法的優點

比蒙特卡羅模擬快

更靈活，比如說允許使用更高級的波動率模型

對提前執行處理較好

4， 偏微分方程途徑的缺點

編程比蒙特利羅模擬要難

擴展布萊克—斯科爾斯方程

連續抽樣平均

我們給出了資產價格隨機過程的一條已實現路徑及其連續抽樣的算術移動平均值， 該平均值定義為：

如果引入新的狀態變量

與該平均值有關的期權價格的偏微分方程為

給出了資產價格隨機過程的一條已實現路徑及連續抽樣的幾何移動平均值。其中連續抽樣幾何平均值的定義為

為對依賴這一平均值的期權定價，我們定義

該期權價格的偏微分方程為

價格幾何平均亞式期權的解析解如下：

1. 幾何平均的價格看漲期權

期權回報為，紅利率為D

其中A是連續幾何平均值。該期權的價值可以求解得到為：

 

其中

2. 幾何平均的價格看跌期權

該期權的回報為

其中A是連續幾何平均值。該期權的價值為：

 

下一篇我們將看看如何用QuantPlus Analytics軟件對連續幾何均值的亞式期權進行定價，以及該類期權的希臘字母指標。

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