這篇文章總結了幾種定價美式期權的方法并且提供了相應的模板。歐式期權普遍交易于商品市場。它具有閉合定價公式，該公式由傳統的Black-Scholes模型推導得出，該公式在電子表格程序和編程語言中很容易得以實現。但在交易所交易得最多的是美式期權。美式期權可以在到期日之前行權，這帶來更多靈活性的同時也給發行期權方帶來了更多風險，這也意味著美式期權比歐式期權有更高的價格。

美式期權沒有閉合解，但是它有不少數值方法和近似解，下面就介紹了一些最常用的方法。以及在QuantPlus Analytic中利用相應方法計算得出的結果。

Barone-Adesi & Whaley近似法

這個方法將美式期權的價值分成兩個部分，第一部分是歐式期權的價值，第二部分是提前行權的價值。第二部分可以通過偏微分方程來解得，Barone-Adesi & Whaley用了一個二項式來估算，因此這個方法又被稱為二項式方法(Quadratic Method)。

這個估算的模型可以被用于付連續紅利、常紅利、離散紅利的期權。

詳細的內容可參見: “Efficient analytic approximation of american option values”, Journal of Finance 42, 301-320. C code for the Barone-Adesi & Whaley approximation。點擊鏈接可見 。

二叉樹模型法

二叉樹模型模擬出股票價格在一段時間內的價格，這就讓它們非常適合定價允許提前行權的美式期權。

二叉樹（三叉樹）計算方法包含以下步驟：

1.     建立一個股票價格的二叉樹模型。在樹的每一個節點，價格可以上漲或下跌；

2.     計算期權在到期日的價格。

3.     期權在到期日之前的任意價格可以通過回溯的方法計算。

Cox-Ross-Rubinstein 模型

Cox, Ross and Rubinstein二叉樹 有如下公式

這里p、u、d的唯一解確保了在短時間間隔內二叉樹模型能匹配無風險世界中資產的均值和波動率，此外這也確保了在多步驟的模型中標的資產的價格是關于其起始價格 S₀對稱的。

多步二叉樹模型

下面用示例描述了兩步的二叉樹模型資產演化模型：

由上圖可得知資產在下一個時間段有向上的價格 S_u 或者向下的價格 S_d。第二個時間段, 資產價格 S_u 可能會有兩個價格 S_uu 或者 S_ud。第一個時間段向下的價格 S_d 會有價格 S_du 或者 S_dd。如果 S_ud=S_du 該資產價格會再重合。

由以上CRR公式可以產生一個再重合的樹形結構，該結構在多個時間段的情況下就會產生如下的樹形結構，會圍繞價格S₀上下波動。

從今天開始到到期日，時間段被分成很小的時間步。未來資產的演化樹結構可以被計算顯示出來。每個樹形結構的每個點稱為一個節點。該樹形結構每個節點就是從今天開始到未來任意時刻資產的價格演化。

計算到期時的回報

計算期權價格的第二步是計算在到期日每一個節點的回報，這對應著在二叉樹最右端所有的節點。

總體來說計算回報是基于很多不同的因素的，比如計算call和put期權可以用以下標準公式：

類型	支付
Put	VN = max(X-SN,0)
Call	VN = max(SN-X,0)

其中

• N 表示到期時的節點
• V_N 是期權價格
• X i是行權價格
• S_N 是標的物價格

貼現回報

定價期權的第三步是用二項模型將期權在到期日的回報貼現到今天。這個可以通過向后歸納完成，由后往前在各個網格通過按順序計算。具體可參照一下公式：

類型	反推函數
歐式Put或者Call	Vn = e-rΔt(pVu+(1-p)Vd)
美式Put	Vn = max(X-Sn,e-rΔt(pVu+(1-p)Vd))
美式Call	Vn = max(Sn-X,e-rΔt(pVu+(1-p)Vd))

其中：

• n表示到期前的第n個時間節點
• V_n 是期權價格
• X 是行權價格
• S_n 是標的資產價格
• p 是資產價格上漲概率
• V_u是在時間點 n+1的向上節點的期權價格
• Vd是在時間點 n+1的向上節點的期權價格
• r 是無風險利率
• Δt 是模型每個節點的時間步長

注意此處的n是從到期時間N到今天的時間0.

二叉樹優點如下：

• ·     易于理解，不需要復雜的數學公式
• ·     可在電子表格中迅速建模
• ·     可包含紅利

但是二叉樹不能得出完全準確的期權價值（因為它們是離散的）,而且它們還假設了常波動率。