背景描述：

波動率微笑是指描述期權隱含波動率與執行價格函數關系的圖形。隱含波動率既依賴于執行價格，又依賴于期限。當短期的歷史波動率較低時，波動率往往是期限的遞增函數，因為這時波動率預期會升高。類似地，當短期的歷史波動率較高時，波動率往往是期限的遞減函數，因為這時波動率預期會減小。波動率曲面是將波動率關于期限和行權價格的函數。

 

如何在QuantPlus中利用隱含波動率構造波動率曲面？

下面是在相應的行權價格和期限下，根據市場數據推出的外匯期權的波動率。然而這樣的市場數據有限，我們如果想要得到行權價格為0.98、期限為2個月的期權的隱含波動率，那么我們就要用插值方法來構造波動率曲面，從而得到不同期限和行權價格下的波動率。

K	1M	3M	6M	1Y	2Y	5Y
0.9	0.142	0.14	0.141	0.147	0.15	0.148
0.95	0.13	0.13	0.133	0.14	0.144	0.146
1	0.12	0.12	0.125	0.135	0.14	0.144
1.05	0.131	0.131	0.134	0.14	0.145	0.147
1.1	0.145	0.142	0.143	0.148	0.151	0.15

這里我們利用的兩個函數為qpblackvariancesurface和qpBlackVolTermStructureBlackVol兩個函數。qpblackvariancesurface函數是用來構造波動率曲象，qpBlackVolTermStructureBlackVol是通過插值方法對相應敲定價格和期限計算波動率。我們這里用的插值方法是二元線性（Bilinear）。

我們來了解一下如何用qpblackvariancesurface來構造波動率曲面對象。所需參數如下：

ObjectId:波動率曲面對象名稱；

SettlementDate：期權到期日；

Calendar：交易日歷；

Dates：期權到期時間（如1d，1m）；

Strikes：行權價格；

Volatilities:相應到期時間和行權價格下的隱含波動率（已有的市場數據反推得出，一般財經網站如yahoo finance有直接推出的數據）；

Daycounter：日期計數規則；

依次輸入相應數據，即可構建一個波動率曲面對象。

 

構建完之后我們需要得到其他不同行權價格和到期時間下的隱含波動率，我們就要用插值，這里我們用的是二元插值里的線性插值法。我們首先自己設定插值所需的期權到期時間和行權價格范圍，然后利用函數qpBlackVolTermStructureBlackVol進行插值，所需參數如下：

Objectid：構建的波動率曲面對象名；

OptionDate：期權到期時間（如1M）；

Strike：期權行權價格；

AllowExtrapolation:輸入True，表示允許插值。

當我們插值得到不同期限和行權價格下的波動率，即可繪制波動率曲面圖形。

之前我們用的是2元線性插值，而其實QuantPlus支持多種2元插值方法。我們這里用到的函數有：qpInterpolation2D構造波動率曲面對象，qpInterpolation2DInterpolate用來插值。我們首先來了解qpInterpolation2D函數相關參數：

ObjectId:波動率曲面對象名稱；

Interpolation Type：插值方法，可選擇Bilinear和Bicubic方法，其中Bilinear方法結果和我們（1）中得到的結果一樣；

XArray：期權到期時間，這里我們是用的天數（如30,60），和方法（1）中的1D，1M表示天數的方法不一樣；

YArray：期權行權價格；

Zmatrix：相應行權價格和期限下的隱含波動率（市場數據得出）；

 

構建完波動率曲面對象之后，我們使用qpInterpolation2DInterpolate函數來插值，所需插值參數如下：

Objectid：構建的波動率曲面對象名；

Xvalue：期權到期時間（天數，如30）；

Yvalue：期權行權價格；

AllowExtrapolation:輸入True，表示允許插值。

當我們插值得到不同期限和行權價格下的波動率，即可繪制波動率曲面圖形。

下圖是構建出來的波動率曲面圖形，可以下載附件里的Excel示例文件進行瀏覽：

         

 附錄：Bilinear，Bicubic原理介紹

Bilinear:

我們有四個點Q₁₁ = (x₁, y₁), Q₁₂ =
(x₁, y₂), Q₂₁ =
(x₂, y₁), Q₂₂ =
(x₂, y₂)和對應f的值，可以將插值函數寫成如下形式：

系數可以由以下矩陣得出：

[math]f(x, y_1) &\approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1}
f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21})[/math]

[math]f(x, y_2) &\approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1}
f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22})[/math]

Bicubic:

我們有[math]f[/math]和其導數[math]f_x[/math] ,[math]f_y[/math] 
和[math]f_{xy}[/math]  ，它在四個角落(0,0) ,(1,0) ,(0,1) ,(1,1) 和 的值已經知道，那么插值可以寫成如下形式：

[math]p(x,y) = \sum\limits_{i=0}^3
\sum_{j=0}^3 a_{ij} x^i y^j[/math]

解出系數，即可進行相應的插值。