概述

在進行期權定價的時候不僅僅要計算期權的公允價值，也需要進行相應的風險統計，例如delta，gamma，vega等等。這些風險統計量也被稱為希臘字母。希臘字母測量了期權價值對于特定變量的敏感性指標，通常用于風險對沖。最為重要的希臘字母就是delta。通過delta的方式對沖期權被稱為delta對沖。利用delta對沖期權風險，可以通過做多或者做空一個單位期權對應的delta單位的某個標的資產來實現投資組合的動態平衡。Delta估計的準確性對于構建delta對沖的資產組合就變得尤為重要。更為準確的估計意味著精確度和穩定性之間的平衡。

計算希臘字母特別是Delta有多種方法，下面將對希臘字母的定義和計算做一個總結：

公式和技術細節

希臘字母的定義

Delta	期權價格對于標的資產當前價格的導數。是其他變量保持不變的情況下，期權價格公允價值和當前標的資產價格變化之比。
Gamma	其他變量保持不變的情況下，期權價格的變化率與當前標的資產之比。期權價格對于標的資產價格的二階導。
Theta	度量了期權價值隨時間衰減的速度。在交易中由于Theta值的大小反映了期權購買者隨時間推移而損失的價值，也就是期權賣方隨時間增加的價值，因此對投資者而言Theta是一個非常敏感的指標。這里的時間期限以年化表示，將時間除以365.
Vega	形容的是期權價格變化與標的證券波動率變化的比率，度量了期權價值對標的資產波動率的敏感性。
rho	是期權價值對無風險利率的偏導數，度量了期權價值對利率變化的敏感性。通常Rho對期權價格的影響較小。

希臘字母估計

希臘字母的解析解

基于BS模型，標準的看漲期權或者看跌期權具備閉合形式的解析解。對于期權來說，閉合公式也是可以推導出相應的希臘字母。對于閉合公式的希臘字母可以參考Haug [1].

二叉樹計算得到希臘字母

對于某些類型的期權，例如，百慕大式期權或者美式期權，通常可以通過CRR（CoxRoxRubinstein）等二叉樹方法計算得到。通過這種方法，希臘字母，delta，gamma，theta可以直接從用來計算期權公允價值的樹模型結構中獲取。這個方法避免了再次計算的需要，計算時間可以被節約下來。

重新回顧通過Rubinstein二叉樹的方法計算金融工具。對于給定的時間長度，例如，期權的到期期限，時間跨度被步長等分成相同的大小。每期，被稱為時間步，與價格情景相聯系，稱為時間節點。每個時間節點都有兩個分支，一個分支向上，一個分支向下。 期初，標的資產價格,在下一步，價格會上漲到 , 這里 , 或者下跌到 。

Delta

將表示為標的資產的即期價格，是期權的公允價值。所以，可以估計期權的delta為：

這里 是期權價值的變化量，是標的資產的價格變化量了 。在二叉樹中，讓 和 分別表示為 和 的期權價格。這里期權的delta可以通過下面的函數計算得到：

Gamma

Gamma可以通過delta變化與標的資產價格變化之比得到。計算gamma，在第2步節點處的期權價格是需要計算得到的。假設第2步的公允價值為相應可能的標的資產價格為，注意，這里。為了估計gamma，這里兩個delta可以通過下面公式計算得到：

標的資產的變化為：

gamma可以通過以下公式計算得到：

Theta

Theta是期權價格的變化和時間變化之比，這里其他參數保持不變。在第2步，中間節點價格和標的資產在0時刻相等，對于theta估計可以由以下公式獲得：

對于更多有關二叉樹和希臘字母估計可以參考Hull[2]的專著。

顛簸算法（BumpingMethod）計算希臘字母

大部分奇異期權的希臘字母沒有簡單的閉合形式的解。如果這個期權不使用二叉樹方法做估值，或者希臘字母不能直接從樹方法中計算得到，就需要引入其他的數值方法來計算希臘字母。這里引入顛簸算法的概念，也是計算函數導數的標準方法。這個方法可以用來估計函數的一階導數和二階導數。

這里一階導數的計算可以由以下函數計算得到：

A.單邊顛簸估計算法計算如下：

.

B.對于雙邊的估計計算如下：

.

二階導數估計如下：

.

選擇顛簸的大小

這里就出現了最為核心的問題，如何選擇顛簸值的大小。數學上來說，如果函數的導數存在，顛簸值越小，估計的導數越精確。可是，在現實計算過程中，太小的顛簸值并不是一個好的解決方案。太小的顛簸值有可能導致估計的不穩定。當顛簸值遞減，結果的導數值有可能由于變量的微小變動而變得不穩定。為了避免這樣的不穩定性發生，這里可以使用單邊或者雙邊估計法，如上所示。

示例

我們看這樣一個示例，考慮這樣一個美式看漲期權——期限為3個月，行權價格為40。目前標的資產的價格為43，無風險利率為23%，波動率為20%。分別用美式期權的近似解和CRR二叉樹計算期權的價格以及相應的delta和gamma。

經過計算，我們會發現，利用近似解計算得到的delta為0.79813347，gamma為0.06592265，但是對于CRR樹模型計算得到的delta為0.80084987，差異不大，但是gamma值變得非常小。這是什么原因呢？

其實主要原因來自于二叉樹方法的收斂性，我們利用顛簸算法作為變化的值為0.0001，非常小，這樣傳入CRR模型中計算得到的期權值的變化也非常小，經過計算得到的gmma值也會非常小。下表列出了利用不同的二叉樹方法同樣經過2000步計算得到的delta和gamma。我們會發現利用LR和JOSHI方法計算得到的gamma比較接近于近似解的結果，這是由于LR和JOSHI方法用到加速收斂的算法。使用顛簸算法對于樹方法計算美式期權的gamma還是要針對不同的方法謹慎使用。

簡稱	全稱	步數	Delta	Gamma
BSA	Bjerksund and Stensland pricing method for American options	近似解	0.79813347	0.06592265
BAWA	Barone-Adesi and Whaley pricing method for American options	近似解	0.79813347	0.06592265
CRR	Cox-Ross-Rubinstein (multiplicative) equal jumps binomial tree.	2000	0.80084987	-0.00000058
AEQPB	Additive equal probabilities binomial tree.	2000	0.79876018	-0.00000098
TRI	Trigeorgis (additive equal jumps) binomial tree.	2000	0.80084987	-0.00000053
JR	Jarrow-Rudd (multiplicative) equal probabilities binomial tree	2000	0.79876316	0.00000058
TIAN	Tian tree: third moment matching, multiplicative approach.	2000	0.79457446	-0.00000004
LR	Leisen & Reimer tree: multiplicative approach.	2000	0.79822871	0.06592318
JOSHI	Joshi tree: multiplicative approach.	2000	0.79822869	0.06606227

以上的方法均是由金融衍生工具估值工具QuantPlusAnalytics計算得到，如果對本文感興趣可以到QuantPlusAnalytics網站申請試用賬戶以及下載本案例。

參考

[1] Haug, E. G., (1997), The Complete Guide to Option Pricing Formulas, McGraw-Hill.

[2] Hull, John, (1997), Options, Futures, and Other Derivatives, 3rd ed., Upper Saddle River, Prentice Hall.

[3] Wilmott, P. (2006), Paul Wilmott on Quantitative Finance, 2nd ed., Chichester: John Wiley & Sons Ltd.