如何從貼現率曲線推導出遠期利率曲線？

貼現率用來折算未來現金流在今天的現值的必要參數，在金融領域十分重要。一條描述貼現率df和時間t之間關系的曲線df(t)被稱為貼現率曲線（discounting curve）。

遠期利率是在今天對未來時刻t₁開始、t₂到期的利率的一個預計。一條描述遠期利率和時間t之間關系的曲線被稱為遠期利率曲線。

在很多情況下我們通常用貸款利率曲線來構建我們的貼現率曲線，而不管我們是處于資產凈收入還是凈支出。比如銀行可以將短期多余資金投入到LIBOR市場獲得再投資回報。這也意味著如果銀行需要短期資金它就可以從LIBOR市場上借取資金。再進一步，這就是說銀行的再投資回報率和貸款利率都是同一個LIBOR利率。但市場情況多變，比如在2007年美國次貸危機的時候，銀行獲得了美聯儲超低貸款利率，銀行的貸款成本利率就低于LIBOR利率，此時我們就該用實際貸款利率來構造貼現曲線而非用LIBOR。

假如確定了相應的利率，那么在時刻t的貼現率df(t)計算為：

單利計算：df(t)=1/(1+r*t);

用連續復利計算：df(t)=exp(-r*t);

以上兩個公式中的利率r實質是零利率。這是因為貼現率是未來1元錢在今天的現值，其值實質上等于存期為t，利率為r，從今天開始，到期本利和正好為1元的貸款本金。除了零利率之外，我們常遇到貼現率和遠期利率之間的轉換關系。即時刻t₁到t₂之間的遠期利率R_t1,t2，和這兩個時刻貼現率df(t₁)和df(t₂)之間的關系：

用單利計算：R_t1,t2=1/T*(df(t₁)/df(t₂)-1);

用連續利率計算：R_t1,t2=1/T*ln(df(t₁)/df(t₂));

其中T是t1和t2之間的應計息時間。

連續復利的公式推導如下：df(t₁)=exp(-r₁t₁)、df(t₂)=exp(-r₂t₂)，以及exp(r₂t₂)*exp(R_t1,t2)=exp(r₂t₂)。經過簡單代換，就可以得到該公式。

 

在Quantplus中由discount curve得到forward curve

這里我們用到兩個函數qpDiscountCurve用來構造貼現曲線對象，qpYieldTSForwardRate用來由貼現率計算出遠期利率。

qpDiscountCurve函數參數如下：

objectid：自行設定對象名稱；

curvedates：貼現利率曲線相應日期；

curvediscounts：貼現率；

daycounter：日期計數規則；

 

qpYieldTSForwardRate函數參數如下：

objectid：自行設定對象名稱；

d1：遠期利率起始日期；

d2：遠期利率到期日期；

resultdaycounter：日期計數規則；

compounding：復利規則；

frequency：復利頻率，默認為每年復利一次

 

附件里包含的是利用QuantPlus構造遠期利率曲線的事例。