上期我們和大家分享了Delta對沖的模擬方法，這期我們將簡單介紹如何使用QuantPlus Analytics和VBA模擬靜態的Delta-Gamma對沖，即hedge and forget。

什么是Delta和Gamma

接上篇文章，歐式期權定價通?？紤]6個參數，分別是無風險利率，股票現價，分紅率，行權價格，時間長度，波動率。

在這里，我們假定其他5個因素不變，考慮股價在一個極小的時間段內發生變化，對歐式期權的理論價格的影響。在數學中，偏導數可以衡量影響的大小，所以我們做如下的定義：

期權價格對股票價格求一階導數可以得到Delta()

期權價格對股票價格求二階倒數可以得到Gamma($\Gamma$)

Delta對股票價格求一階導數可以得到Gamma

這里簡單介紹一下Delta-Gamma對沖的原理和思路。從上篇文章中，我們已經了解到，期權的Delta通常不是常數，是一個在時刻隨股價變化而變化的值，交易員需要時刻調整持倉數量以達到Delta中性，為了方便交易員進行對沖，我們引入了Gamma的概念，交易員只需做到Delta-Gamma的中性，并且不用頻繁地調整倉位，也可以對風險進行控制。

用數學表示如下：

根據這個方程，我們可以求得使投資組合達到Delta-Gamma中性的兩種期權的個數。

在Delta和Gamma都達到中性時，由于Gamma是Delta對股價的偏導數，則當股價變化量

較小時，Delta不會發生變化，所以交易員不用調整倉位。

實例演示

同上篇文章一樣，參考

http://www.nasdaq.com/symbol/ibm/option-chain/160415C00120000-ibm-call和

http://www.dividend.com/dividend-stocks/technology/diversified-computer-systems/ibm-ibm-corp

可以獲得IBM的2016/4/15到期的權益期權的相關信息，

該期權的行權價格是120美元，是一個歐式看漲期權，隱含波動率為0.27572。在2016/1/14時，IBM的股價為132.91美元，無風險利率我們選擇3個月的LIBOR，為0.62%，連續紅率為3.91%。

我們將演示如何通過Excel進行對沖。注意到有兩個實例文件，我們將分別進行講解。

在兩個示例文件中，我們都假設估值日為2016/1/14。

打開示例文件Delta Gamma Hedging，此文件模擬了十周中每周的股價，并模擬出了投資組合的時間序列數據，打開示例文件中的“利潤”表，可以看到：

圖1：“利潤”表

在此文件中，我們可以輸入當期股價，選擇兩個期權的strike大小，以及是看漲期權(call)還是看跌期權(put)。

參考圖2，該表可以模擬在進行delta對沖時，期權+股票組合的利潤情況。

圖2：輸入、輸出

圖2 的說明如下：

Strike1就是用戶希望進行Delta-Gamma對沖的期權1的行權價格，可以根據市場上所有的期權輸入相應的行權價格。

Strike2就是用戶希望進行Delta-Gamma對沖的期權2的行權價格，可以根據市場上所有的期權輸入相應的行權價格。

用戶可以選擇使用call還是put

股票數量是用戶輸入的內容。

當前股價是股票的價格，可以從相關網站上獲得相關數據，也可以用wind的函數直接獲得。

初始投資是經計算得出的結果。

初始期權數量是用戶輸入的數據。

在這個例子中，經系統計算，達到保持Delta-Gamma中性所需要的期權1(行權價格是132)數量是﹣26808，即賣出26808份，所需期權2(行權價格是133)的數量是26761。由于初始期權1和期權2的數量都是1000，所以需賣出27808份期權1，買入25761份期權2。

接著我們回到左邊的表格，注意到有3個按鈕：

圖3：3個按鈕

點擊按鈕“生成隨機的股價”可以生成一系列隨機的股價，如下圖：

圖4：隨機生成每周的股價

從圖4中，我們能看到133.1587是模擬出的一周后的股價，128.0946是過了10周后的股價。如果用戶不希望使用隨機模擬的股價，也可以隨意輸入股價進行模擬。

按下“模擬Delta Gamma對沖”可以用剛才隨機生成的股價進行Delta Gamma對沖的模擬。

圖5：利潤表

從圖5中可以看出，在這次模擬中，過了一周后，股價為133.1587，累積利潤為﹣66.9606，過了兩周后，股價為132.8298，累計利潤為﹣264.3098。

按下“生成股價并對沖”按鈕，相當于先按“生成隨機的股價”，再按“模擬delta對沖”。

同時，我們還制作了第二個Excel文件，打開“Delta Gamma對沖_2”的利潤表

圖6：Delta Gamma對沖_2的“利潤”表

對比這個文件和上個文件可以發現，在此文件中，并沒有進行股價的隨機模擬，而是計算了每一個股價所對應的利潤，用戶需要輸入周數，比如在實例文件中，我們輸入了4，就是計算在4周后，各個股價所對應的利潤。

圖7：4周后利潤與股價的關系

仔細觀察圖7，可以發現當股價變化范圍在120-170之間時，利潤較為穩定。

結論及未來展望

總得來說，Delta Gamma對沖還有不足的地方，沒有考慮到期權價格受到時間變化的影響，在以后，我們將在以后和大家討論Delta-Gamma-theta對沖。