在市場風險管理中，我們常常需要估算持有期比較長的風險價值數字(VaR)，而常常在實務中，由于歷史數據的積累的問題，我們無法直接估算這些數字而需要使用較短持有期的VaR進行估算。一個在業界被廣泛接受的轉換公式是這樣的。

[math] VaR_{t,q} = \sqrt{t} * VaR_{1,q} [/math]

其中q是在險價值的置信區間（比如99%)，而下標t代表了在險價值的持有期。這個公式提供了一個很方便的在不同持有期間的在險價值之間進行轉換的工具，比如說如果我們需要估算99%置信區間下一年的在險價值，根據這個公式，我們就只需要計算出99%置信區間下1天的在險價值，然后乘以[math] \sqrt{252} [/math] (假設一年中工作日是252天)就可以得到我們想要的數字了。

那么問題來了，我們為什么可以做這個轉換，做這個轉換的依據是什么？

根號t規則的來源來自關于隨機變量 （在這里是交易組合的每日損益）是服從獨立分布的正態分布假設，在這樣假設下，我們可以直接運用正態分布隨機變量的性質即多個獨立分布的正態變量的簡單加總依然服從正態分布這一規律。

但是很顯然，大部分情況下，很難證明每日損益是正態分布的。

我們不妨放寬一下假設，不再假設每日損益服從正態分布，而僅假設每日損益服從一個穩定的分布(stable distribution)，所謂穩定分布，是指:

[math]x_{t,a}=t^b x_{t,1} [/math]

可以看出，正態分布是此類分布的一個特例，在正態分布的情況下，b=0.5。

我們可以構造一個方法，通過時間序列數據來估算這個b值的大小。比方說，如果對上式兩邊都取對數，我們可以得到

[math] ln(x_{t,a}) - ln(x_{1,a})= b ln(t) [/math]

這個公式給了我們一個線性回歸方程，我們可以用這個來估計b值的大小。

運用此方法分析從2006年10月8日到2014年底的shibor3m數據，b值大約穩定在0.68左右。而若用同樣的方法分析從2006年到2014年的人民幣對美元匯率，b值大約為0.59左右。從這些分析來看，對于中國市場而言，使用根號t來進行不同持有期的轉換可能有失謹慎（低估了風險價值）。更合適的做法是使用以下公式進行轉換：

[math] VaR_{t,q} = t^ * VaR_{1,q} [/math]

其中b的取值需要根據主要風險因子來進行調整，在這個分析里，我們發現如果主要的風險因子是Shibor1M，合適的取值大概是0.68左右。而如果風險因子主要是外匯，合適的取值大概是0.59左右。

分析所用的excel文件可在以下鏈接下載

https://www.dropbox.com/sh/aei04px2dyzs0tn/AABfVmbyN3-narZkXIi05i8la?dl=0